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Academic Year/course: 2023/24

453 - Degree in Mathematics

27006 - Calculus II


Syllabus Information

Academic year:
2023/24
Subject:
27006 - Calculus II
Faculty / School:
100 - Facultad de Ciencias
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
15.0
Year:
2
Semester:
Annual
Subject type:
Compulsory
Module:
---

1. General information

The object of this module is the differential and integral calculus of functions of several variables, with attention to both the practical part and the theory. In particular: limits, continuity and differentiability; Taylor's formula, the study of extreme points; implicit function theorem; extreme points on manifolds; integration in Rn, change of variable and Fubini's theorem; integration of functions and 1-differential forms on paths; integration of functions and 2-differential forms on surfaces.

The approaches and objectives of this module are aligned with the Sustainable Development Goals (SDGs) of the United Nations 2030 Agenda; the learning activities could contribute to some extent to the achievement of the goals 4 (quality education), 5 (gender equality), 8 (decent work and economic growth), and 10 (reducing inequality).

2. Learning results

  • Understand the algebra and the topology of Rn.
  • Comprehend the notion of differentiability, compute partial derivatives using the chain rule, and use the implicit function theorem.
  • Compute and study the extreme values of functions in open subsets and manifolds in Rn.
  • State and compute multiple integrals, line integrals and surface integrals.
  • Know the applications to other fields the notions of partial derivatives and multiple, line, and surface integrals.
  • Handle software to solve problems and give geometric interpretations to the notions involved in the course.

3. Syllabus

  1. Algebraic and topological properties in Rn.
  2. Functions of several real variables. Limits and continuity.
  3. Partial derivatives and differentiability of real-valued and vector-valued functions. Higher order partial derivatives. Functions of class Cp.
  4. Taylor's formula. Application to the study of extreme points.
  5. Implicit and inverse function theorems, change of variables.
  6. Extreme points on manifolds and the Lagrange multipliers rule.
  7. Integration in Rn. Differentiation under integral sign, change of variable and Fubini's theorem.
  8. Integration of functions and 1-differential forms on paths. Poincaré's lemma.
  9. Integration of functions and 2-differential forms on surfaces in R3. Riemann-Green, Gauss-Ostrogradski and Stokes theorems.

4. Academic activities

Master classes: 102 hours.
Problem solving: 40 hours.
Computer classes: 8 hours.
Study: 210 hours.
Assessment tests: 15 hours.

5. Assessment system

There will be an assessment for each term. In order to pass the course it will be needed to pass each one of both terms. With this requisite, the final mark of the course will be the mean of the marks in both terms.

During the course there will be several short examinations and a global exam of the contents in each term. There will also be practical computer sessions.

The dates and the contents covered in each short examination will be announced in advance. It is estimated that there will be two short examinations in each term, although this number might change if the circumstances so require. The short examinations marks will have a total weight of 20 percent in the mark of the corresponding term.

There will be a global exam for the first term in January, in the date fixed by the Faculty of Sciences.

In each period of exams (May or June the first, June or July the second), in the dates fixed by the Facuty of Sciences, there will be a global exam for the first term and a global exam for the second term. There will be a computer practical exam with a computer for those who did not pass this part in the practical computer sessions during the course.

The mark of a passed term will be kept during the academic year. Those students who pass one of the terms will not have to take an exam of that term any more.

In no case the students' right, according to present regulation, to pass the course by taking one final global exam will be violated.


Curso Académico: 2023/24

453 - Graduado en Matemáticas

27006 - Análisis matemático II


Información del Plan Docente

Año académico:
2023/24
Asignatura:
27006 - Análisis matemático II
Centro académico:
100 - Facultad de Ciencias
Titulación:
453 - Graduado en Matemáticas
Créditos:
15.0
Curso:
2
Periodo de impartición:
Anual
Clase de asignatura:
Obligatoria
Materia:
---

1. Información básica de la asignatura

El objeto de la asignatura es el cálculo diferencial e integral de funciones de varias variables reales, con atención tanto a la parte teórica como a la práctica. Concretamente: límites, continuidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables; fórmula de Taylor, cálculo de extremos; teorema de la función implícita; extremos condicionados sobre variedades; integración en varias variables, teorema de Fubini y cambio de variable; integración de funciones y 1-formas sobre caminos; integración de funciones y 2-formas sobre superficies.

Los planteamientos y objetivos de la asignatura están alineados con los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de Naciones Unidas; en concreto, las actividades de aprendizaje previstas en esta asignatura contribuirán en alguna medida al logro de los objetivos 4 (educación de calidad), 5 (igualdad de género), 8 (trabajo decente y crecimiento económico) y 10 (reducción de las desigualdades).

2. Resultados de aprendizaje

  • Comprender topológica y algebraicamente Rn.
  • Comprender la noción de diferenciabilidad, calcular derivadas de funciones mediante la regla de la cadena y el teorema de la función implícita.
  • Calcular y estudiar extremos de funciones en abiertos y en variedades de Rn.
  • Plantear y resolver integrales de funciones de varias variables, integrales curvilíneas e integrales de superficie.
  • Utilizar, en aplicaciones a otros campos, los conceptos asociados a las derivadas parciales, a las integrales de línea y de superficie y a las integrales de dos o tres variables.
  • Utilizar herramientas informáticas para resolver problemas e interpretar geométricamente los conceptos de la asignatura.

3. Programa de la asignatura

  1. Propiedades algebraicas y topológicas de Rn.
  2. Funciones de varias variables reales. Límites y continuidad.
  3. Derivadas parciales y diferenciabilidad de funciones de varias variables reales. Derivadas parciales de orden superior. Funciones de clase C(p.
  4. Fórmula de Taylor. Aplicación al cálculo de extremos.
  5. Teoremas de la función implícita e inversa, cambio de variable.
  6. Variedades, extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange.
  7. Integración en Rn. Diferenciación bajo signo integral . Teoremas de Fubini y de cambio de variable.
  8. Integración de funciones y 1-formas sobre caminos. Lema de Poincaré.
  9. Integración de funciones y 2-formas sobre superficies en R3. Teoremas de Riemann-Green, Gauss-Ostrogradski y Stokes.

4. Actividades académicas

Clases magistrales: 102 horas.
Resolución de problemas y casos: 40 horas.
Prácticas informatizadas: 8 horas.
Estudio: 210 horas.
Pruebas de evaluación: 15 horas.

5. Sistema de evaluación

Se hará una evaluación de cada cuatrimestre. Para superar la asignatura será necesario aprobar cada cuatrimestre por separado; con este requisito, la nota de la asignatura será la media de las dos evaluaciones.

Durante el curso habrá varias pruebas cortas y un examen de global de cada cuatrimestre. Se evaluará también el trabajo realizado en las prácticas de ordenador.

Las fechas y el contenido de las pruebas cortas se anunciarán con suficiente antelación. Se prevé hacer dos pruebas en cada cuatrimestre, aunque este número podrá variar si las circunstancias lo aconsejan. Para la evaluación de cada cuatrimestre estas pruebas cortas supondrán en conjunto un 20 por ciento de la nota.

Habrá un examen global del primer cuatrimestre en enero, en la fecha marcada por la Facultad de Ciencias.

En cada periodo de exámenes de la asignatura (mayo o junio el primero, junio o julio el segundo), en las fechas que decida la Facultad de Ciencias, habrá un examen global del primer cuatrimestre y otro del segundo cuatrimestre. Habrá un examen de prácticas de ordenador para quienes no las hayan aprobado con su trabajo durante el curso.

Se guardará el aprobado de cada cuatrimestre. Es decir, quienes aprueben la evaluación de un cuatrimestre no tendrán que volver a examinarse de él.

Según la normativa vigente, el alumno puede prescindir de lo anterior y optar por una prueba global de la asignatura en las convocatorias oficiales.